二阶导数 ​定义 ​若函数y=f(x)的导函数f′(x)在点x0处仍可导 则称(f′(x))′|x=x0为y=f(x)在x0处的二阶导数 记为f″(x0)或d2ydx2|x=x0，称f(x)在x0处二阶可导 若y=f(x) 在区间I上点点二阶可导，则有二阶导函数f″(x)或d2ydx2

二阶微分（补充） ​定义 ​符号d2y表示函数y=f(x)的二阶微分，d2y=f″(x)dx2

符号dx2即为(dx)2与d(x2)=2xdx不同d2x=0表示对x求二阶导d2y=d(dy)=d(f′(x)dx=(f′(x)dx)dx=f″(x)dx2二阶导数也可视为二阶微分d2y与dx2的比值一阶微分的不变性 ​若y=f(u)，u为自变量，则微分dy=f′(u)du 若u为中间变量，x为自变量，即y=f(u(x)) 由复合函数求导，有(f(u(x)))′=f′(u)u′(x) 微分dy=f′(u)u′(x)dx=f′(u)du 无论u是中间变量还是自变量， 均有dy=f′(u)du 称为一阶微分的不变性

此时可真正理解链式法则公式 dydx=dydududx现在考虑二阶微分

若y=f(u)，u为自变量，则二阶微分d2y=f″(u)du2 若u为中间变量，x为自变量，即y=f(u(x)) 由复合函数求导，有(f(u(x)))″=(f′(u)u′(x))′=f″(u)(u′(x))2+f′(u)u″(x) 此时，二阶微分d2y=(f″(u)(u′(x))2+f′(u)u″(x))dx2 即d2y=f″(u)du2+f′(u)d2ud2y≠f″(u)du

高阶导数 ​定义 ​设函数y=f(x)在点x0某邻域内有n−1阶导数f(n−1)(x) 若f(n−1)(x)在x0处仍可导，则称n阶导数

n阶连续可导 ​若f(n)(x)在区间I上连续 则称f(x)在区间I上n阶连续可导 记为f(x)∈Cn(I)

需要满足小于n阶都连续可导若f(x)在区间I上无限阶可导，记为f(x)∈C∞(I)n 阶可导 ⟺n−1 阶连续可导 洛必达法则中 n 阶导的问题某次大课的证明上使用过小班课注意事项高阶导数运算法则 ​若函数u(x),v(x)在区间I上n阶可导，则

[αu(x)+βv(x)](n)=αu(n)(x)+βv(n)(x)莱布尼茨公式[u(x)v(x)](u)=∑k=0nCnku(k)(x)v(n−k)(x)常用公式 (ax)(n)=axlnn⁡a[sin⁡(kx+a)](n)=knsin⁡(kx+a+nπ2)[cos⁡(kx+a)](n)=kncos⁡(kx+a+nπ2)(xμ)(n)=μ(μ−1)⋯(μ−n+1)xμ−n(loga⁡x)(n)=(−1)n−1(n−1)!xnln⁡a高阶导数运算方法 ​数学归纳法

递推公式法

当高阶导数无法直接求出，可先考虑求出导数的递推公式 先求前几阶的导数关系将等式化为左右同时求导，能得到一般递推关系例子见[[2023-10-20 例题2]]隐函数的高阶导数 ​同定义

方法一 先算一阶导，继续求导 一阶导右侧的y继续求导，得到的是一阶导，注意代入方法二 视y为隐函数y(x)对F(x,y(x))=0两边关于x求导两次参数方程的高阶导数 ​法则同上 对于参数方程{x=x(t)y=y(t),y′(x)=dydx=y′(t)x′(t)

y″(x)=ddx(dydx)=ddt(y′(t)x′(t))⋅dtdx=(y′(t)x′(t))′x′(t)=y″(t)x′(t)−x″(t)y′(t)[x′(t)]3不需要特别记住